Assalamualaikum!!!: Aplikasi Kekongruenan

Kekongruenan adalah cara lain untuk mendalami sifat – sifat keterbagian dalam himpunan bilangan bulat. Dalam aplikasi kekongruenan ini akan kita pelajari penggunaan dan sifat – sifat kekongruenan. Diketahui bahwa a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika a = mk + b atau a – b = mk dengan k bilangan bulat. Berikut adalah teorema – teorema beserta bukti – bukti mengenai aplikasi kekongruenan:

10ⁿ≡ 1 (mod 9) untuk n =0,1,2,..

Bukti : 10 – 1 = 9 = 9k₁ à 10 ≡ 1 (mod 9)

100 – 1 = 99 = 9k₂ à 100 ≡ 1 (mod 9)

1000 – 1 = 999 = 9k₃ à 1000 ≡ 1 (mod 9)

10ⁿ – 1 = 999..9 (sebanyak n angka semuanya 9) = 9k_n à 10ⁿ ≡ 1 (mod 9)

Setiap bilangan bulat kongruen modulo 9 dengan jumlah angka – angkanya.

Bukti :

1234 ≡ 1000 + 200 + 30 + 4 (mod 9)

≡ 1(1000) + 2(100) + 3(10) + 4 (mod 9)

≡ 1(1) + 2(1) + 3(1) + 4 (mod 9)

≡ 10 (mod 9)

Karena 10 > 9 , maka dengan cara yang sama à 10 ≡ 1 (mod 9)

Jadi, 1234 ≡ 1 (mod 9)

1111 ≡ 1000 + 100 + 10 + 1 (mod 9)

≡ 1(1000) + 1(100) + 1(10) + 1 (mod 9)

≡ 1 + 1 + 1 + 1 (mod 9)

≡ 4 (mod 9)

Jadi, 1111 ≡ 4 (mod 9)

n = a_k a_k-1 a_k-2... a₂ a₁ a₀

= a_k (10^k) + a_k-1(10^k-1) + a_k-2(10^k-2) +...+ a₂(10²) + a₁(10¹) + a₀(10⁰)

Karena 10ⁿ ≡ 1 (mod 9), maka:

n ≡ a_k (1) + a_k-1(1) + a_k-2(1) +...+ a₂(1) + a₁(1) + a₀(1) (mod 9)

Untuk a + b = c , maka tentulah a + b ≡ c (mod 9). Jika a ≡ m (mod 9), b ≡ n (mod 9), dan c ≡ p (mod 9), maka dari a + b ≡ c (mod 9) dapat disimpulkan bahwa m + n ≡ p (mod 9).

Contoh : Periksalah kebenaran penjumlahan berikut dengan prinsip diatas.

123 + 541 + 733 = 1397

Jawab :

123 ≡ 1 + 2 + 3 (mod 9)

≡ 6 (mod 9)

541 ≡ 5 + 4 + 1 (mod 9)

≡ 10 (mod 9)

≡ 1 (mod)

733 ≡ 7 + 3 + 3 (mod 9)

≡ 13 (mod 9)

≡ 4 (mod 9)

Jadi, 123 + 541 + 733 ≡ 6 + 1 + 4 (mod 9)

≡ 11 (mod 9)

≡ 2 (mod 9) ..........................................................(i)

Sedangkan 1397 ≡ 1 + 3 + 9 +7 (mod 9)

≡ 20 (mod 9)

≡ 2 (mod 9)...........................................................(ii)

Dari kekongruenan (i) dan (ii) berarti 123 + 541 + 733 = 1397 (benar)

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka ac ≡ bd (mod m)

Contoh : Benarkah 89 x 194 = 17266

Jawab : 89 ≡ 8 + 9 (mod 9)

≡ 17 (mod 9)

≡ 8 (mod 9)

194 ≡ 1 + 9 + 4 (mod 9)

≡ 14 (mod 9)

≡ 5 (mod 9)

89 x 194 ≡ 8 x 5 (mod 9)

≡ 40 (mod 9)

≡ 4 (mod 9) ......................................................................(i)

Sedangkan 17266 ≡ 1 + 7 + 2 + 6 + 6 (mod 9)

≡ 22 (mod 9)

≡ 4 (mod 9) ...................................................................(ii)

Dari (i) dan (ii) bahwa 89 x 194 = 17266 (benar)

Suatu bilangan terbagi oleh 9 jika dan hanya jika jumlah angka – angkanya terbagi oleh 9.

Contoh : Apakah 5301 habis dibagi oleh 9?

Jawab : 5301 ≡ 5 + 3 + 0 + 1 (mod 9)

≡ 9 (mod 9)

Karena 9|9 , maka 9|5301.

Bilangan yang habis dibagi 9 akan habis dibagi oleh 3 pula.

Contoh : Apakah 3672 habis dibagi 3?

Jawab : 3672 ≡ 3 + 6 + 7 + 2 (mod 9)

≡ 18 (mod 9)

≡ 9 (mod 9)

Karena 3|9, maka 3|3672.

Suatu bilangan terbagi oleh 2 jika dan hanya jika angka terakhirnya terbagi oleh 2.